平均场博弈及相关主方程的控制理论方法

只要平均场敏感性不过大，我们证明了一大类平均场博弈问题的全局时间适定性，这超越了特殊的线性 - 二次型设定。通过随机最大值原理，我们采用正向 - backward 随机微分方程（FBSDE）方法来研究相应均衡策略的唯一存在性。相应的 FBSDE 首先在局部时间内求解，然后通过针对相应 Jacobian 流的适当先验估计来控制后向解关于初始条件的敏感性，从而保证全局时间解的存在性。我们将进一步讨论这些 Jacobian 流的分析，以建立相应值函数的正则性（如线性泛函可微性），进而导出 $\mathbb{R}^d$ 上主方程的最终经典适定性。据我们所知，这是首篇在小平均场效应下处理具有二次增长的一般成本泛函的平均场博弈问题及其相关主方程的文章。在当前方法中，我们直接对成本泛函施加结构性条件，而非对 Hamiltonian 施加条件。这样做有三个优势：(i) 与对 Hamiltonian 施加条件相比，本文施加的结构性条件易于验证，且在求解主方程时对成本泛函的正则性要求较低；(ii) 位移单调性基本上只是结构性条件中小平均场效应的直接推论；(iii) 当平均场效应不那么小时，我们仍能为局部存在性提供精确的生命跨度。本文的方法可 readily 扩展至具有非线性漂移和不可分离成本泛函的情形。