一类一阶平均场型控制问题及其方程的理论

在本文中，通过使用文献中仍缺失的几个新的关键先验估计，我们提供了一阶通用平均场型控制问题的全面求解，并建立了其 Bellman 方程和主方程的全局时间经典解。我们并非直接通过处理 Bellman 方程和主方程来发展分析方法，而是采用最大值原理方法，考虑所诱导的前向-后向常微分方程（FBODE）系统；事实上，我们首先通过 Banach 不动点论证，针对多种终端数据证明 FBODE 系统解的局部时间唯一存在性，然后利用可从提升版本中拉格朗日量的海森矩阵舒尔补正定性推导出的单调性条件并适当处理一阶条件，提供将后向方程终端数据敏感性界住的关键先验估计；该在整个规划周期 [0,T] 上的均匀界允许我们将 [0,T] 划分为若干具有共同小长度的子区间，然后将连续的局部时间解粘合以形成 FBODE 系统的唯一全局时间解。全局时间解的正则性源于局部解的正则性，这得益于系数函数的正则性假设。此外，值函数的正则性也将借助 FBODE 系统解偶的正则性及系数函数的正则性假设予以证明，由此我们可进一步推断该值函数及其线性泛函导数分别满足 Bellman 方程和主方程。