平均场型控制问题、若干 Hilbert 空间值倒向随机微分方程及相关方程

在本文中，我们借助一种修正的（但非相同的）方法，对 $\mathbb{R}^n$ 上具有一般代价泛函的平均场型控制问题给出了原创的、全局时间上的系统性分析；该方法最初由 P. L. Lions 提出的“提升”思想在 [7] 中引入。作为近期通过处理主方程这一流行解析方法的替代，我们在 $L^2$ 随机变量全空间的某个适当 Hilbert 子空间中解决该控制问题，该子空间可视为附着于初始概率测度的切空间。本工作还填补了全局时间可解性的空白，并推广了 [7,11] 中仅处理控制中二次代价泛函的先前工作；该问题与 Hilbert 空间值前向–后向随机微分方程（FBSDE）的全局可解性相关联，本文利用变分技术求解该方程。我们还依赖此 FBSDE 解的 Jacobian 流来建立值函数的正则性，包括其线性泛函可微性，从而得到 Bellman 方程的经典适定性。结合该 FBSDE 解的线性泛函导数及其线性泛函导数的梯度，我们也获得了主方程的经典适定性。