具有广义平均场动力学的最优控制问题与主贝尔曼方程的粘性解

我们研究了一个具有开环控制的广义平均场动力学最优控制问题，其中系数不仅依赖于状态过程和控制，还依赖于它们的联合分布。以常规方式定义的值函数$V$不满足动态规划原理（DPP）。为此，我们巧妙地引入了一个新的值函数$\vartheta$，它与原值函数$V$密切相关，使得对$\vartheta$作为偏微分方程（PDE）解的刻画也能表征$V$。我们为$\vartheta$建立了DPP。通过使用最初由Burzoni, Ignazio, Reppen和Soner [8]引入并专门针对我们框架定制的粘性解内在概念，我们证明了值函数$\vartheta$是概率测度Wasserstein空间子集上主贝尔曼方程的一个粘性解。对于依赖于时间以及控制过程与被控过程联合分布的系数，我们证明了粘性解的唯一性。我们的方法受到Buckdahn, Li, Peng和Rainer [7]的启发，并将[7]中的平均场PDE推广到了带控制情况下的主贝尔曼方程。