Wasserstein 空间中的主 Bellman 方程：粘性解的唯一性

我们研究在平均场控制问题（即 McKean-Vlasov 扩散过程的随机最优控制问题）中出现的 Wasserstein 空间中的 Bellman 方程。利用标准 Crandall-Lions 式的粘性解概念并推广至我们的 Wasserstein 框架，我们在漂移与收益系数的一般条件下证明了比较原理；结合动态规划原理，该结果意味着值函数是主 Bellman 方程的唯一粘性解。这是此类二阶情形下的首个唯一性结果。有限维空间或无限维可分 Hilbert 空间中的标准方程所采用的经典论证无法推广至当前框架，其原因在于底层 Wasserstein 空间的特殊性质。所采用的策略基于由相关合作 $n$ 人博弈给出的价值函数的有限维逼近，以及由 Wasserstein 度量的一个尖锐估计的正则化出发构造的光滑规范型函数；该规范型函数通过 Borwein-Preiss 对 Ekeland 变分原理在 Wasserstein 空间上的合适推广来产生极大值/极小值。