McKean-Vlasov 型随机递归最优控制：粘性解方法

本文受 Carmona 和 Delarue（\emph{Ann Probab}, 2015, \cite{cd15}）提出的由 FBSDE 解耦场导出的无穷维 Hamilton--Jacobi--Bellman（简称 HJB）方程研究的启发，通过动态规划原理（简称 DPP）研究一类 McKean--Vlasov 型正倒向随机微分方程（简称 FBSDE）的最优控制问题。起初，值函数由前述受控 BSDE 的解定义。一方面，我们可以证明值函数关于初始随机变量是确定性函数；另一方面，我们可以证明值函数具有\emph{律不变性}，即仅通过其分布依赖（借助 BSDE 性质）。随后，利用 P.L. Lions \cite{Lions2012} 引入的关于概率测度的可微性概念，我们基于 BSDE 方法的应用，特别是采用与随机最优控制问题相关的随机\emph{后向半群}概念以及沿受控前向状态过程条件律流性质的 It\^{o} 公式，在概率测度的 Wasserstein 空间中建立了值函数的 DPP。我们证明了值函数是相应广义 HJB 方程在某可分 Hilbert 空间中的唯一粘性解。最后，作为应用，我们表述了在非线性期望（Peng \cite{Peng04} 引入的 $g$-期望）下具有 McKean-Vlasov 型二次代价泛函的线性随机微分方程的最优控制问题，并通过若干组 Riccati 方程显式导出最优反馈控制。