无限时间窗下 McKean-Vlasov 随机微分方程的最优控制理论
最优化与控制
2025-03-27 v1 概率论
摘要
本文提出了关于 McKean-Vlasov 随机微分方程无限时间窗及折扣收益型最优控制理论。我们首先在系数满足适当假设后，建立了状态方程及其关联最优控制问题的良好定义性。随后我们特别关注价值函数 V 的时间不变性，即其实际上独立于动力学的初始时间。这一性质若能限制控制类的范围而不修改价值，即忽略布朗运动的过去，便可轻易推导得出。但在一般的 McKean-Vlasov 情形下，这一结论并非平凡。在实际操作中，我们提供了一个反例，表明改变控制类的范围会使价值恶化。因此，我们需要适当的连续性假设才能证明时间不变性。此外，我们展示价值函数仅通过初始随机条件的概率分布来依赖。因此，函数 V 可重写为作用于二阶 Wasserstein 空间上的映射 v。经过对 v 建立动态规划原理后，我们推导出其椭圆型 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程，并以黏性解的方式求解。最后，借助有限时窗近似，我们在更强的假设下证明了该方程唯一拥有黏性解。
引用
@article{arxiv.2503.20572,
title = {Infinite Time Horizon Optimal Control of McKean-Vlasov SDEs},
author = {Silvia Rudà},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.20572},
year = {2025}
}