完全耦合 FBSDE 的最优控制问题与 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的粘性解

本文研究了完全耦合前向 - 后向随机微分方程 (FBSDEs) 的随机最优控制问题。递归成本泛函由受控的完全耦合 FBSDEs 定义。我们研究了前向随机微分方程 (FSDEs) 扩散系数 $\sigma$ 的两种情形。我们采用一种新方法证明了值函数是确定性的，满足动态规划原理 (DPP)，并且是相关广义 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的粘性解。当 $\sigma$ 依赖于 BSDE 解的第二分量 $(Y, Z)$ 而不依赖于控制时，相关的广义 HJB 方程与代数方程相关联。为此，我们采用了 Peng 的 BSDE 方法，特别是 [16] 中的随机后向半群概念。我们强调，$\sigma$ 也依赖于 $Z$ 这一事实使得随机控制变得更加复杂，其后果是相关的 HJB 方程与一个代数方程相结合，这一思路受到 Wu 和 Yu [19] 的启发。我们利用连续性方法结合不动点定理证明了该代数方程存在唯一解，此外，我们还给出了该解的表示。另一方面，我们在单调性假设下证明了完全耦合 FBSDEs 的一些新的基本估计。特别地，我们证明了在 Lipschitz 条件和线性增长条件下，如果 $\sigma$ 关于 $z$ 的 Lipschitz 常数足够小，则完全耦合 FBSDEs 在短时间区间上存在唯一解。我们还建立了此类完全耦合 FBSDEs 的广义比较定理。