奇特征下回旋均匀性与扩展微分的联系及其应用

本文首次在经典微分均匀性/回旋均匀性与新引入的 $c$-微分均匀性之间建立了桥梁。我们证明了奇 APN 函数的回旋均匀性由该函数的 $(-1)$-差分分布表中（第一行/列除外）条目的最大值给出。事实上，奇置换 APN 函数的回旋均匀性等于其 $(-1)$-微分均匀性。接下来，我们应用此结果轻松计算了几个奇 APN 函数的回旋均匀性。在第二部分中，我们给出了通过修改逆函数得到的两类低微分均匀函数。第一类置换（与逆函数 CCZ 不等价）在有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$（$p$ 为奇素数）上通过逆函数与 3 阶循环置换的复合得到，其微分均匀性在 $p=3$ 且 $n$ 为奇数时为 $3$；在 $p=13$ 且 $n$ 为偶数时为 $5$；在其他情况下为 $4$。第二类是二项式族，我们证明了它们的微分均匀性等于 $4$。接下来，我们完善了由 Göloğlu 和 McGuire (2014) 针对 $p\geq 5$ 开启，并由 Kölsch (2021) 针对 $p=2, n\geq 5$ 续作的关于刻画 $L_1(X^{p^n-2})+L_2(X)$（其中 $L_1, L_2$ 为线性化多项式）为置换多项式的研究中 $p=3$ 的遗留情形。最后，我们将 Charpin 和 Kyureghyan (2010) 关于通过迹函数给出函数及其切换版本的微分均匀性上限的结果推广到了奇特征。