具有最优 Hermitian 能量的 3-正则混合图

设 $G$ 为简单无向图，$G^\phi$ 为具有广义定向 $\phi$ 和 Hermitian 邻接矩阵 $H(G^\phi)$ 的 $G$ 的混合图。此时称 $G$ 为 $G^\phi$ 的底层图。混合图 $G^\phi$ 的 Hermitian 能量（记为 $\mathcal{E}_H(G^\phi)$）定义为 $H(G^\phi)$ 所有奇异值之和。若一个具有 $n$ 个顶点的 $k$-正则混合图的 Hermitian 能量为 $n\sqrt{k}$，则称其为 $k$-正则最优 Hermitian 能量混合图。本文首先关注 Liu 和 Li [J. Liu, X. Li, Hermitian-adjacency matrices and Hermitian energies of mixed graphs, Linear Algebra Appl. 466(2015), 182--207] 提出的问题，即确定所有 3-正则连通最优 Hermitian 能量混合图。随后，我们证明了底层图为超立方体的最优 Hermitian 能量有向图是唯一的（在切换等价意义下）。