给定次数平面曲线的最坏奇点

我们证明了 $\frac{2}{d}$、$\frac{2d-3}{(d-1)^2}$、$\frac{2d-1}{d(d-1)}$、$\frac{2d-5}{d^2-3d+1}$ 和 $\frac{2d-3}{d(d-2)}$ 是次数 $d\geqslant 3$ 的既约平面曲线的最小对数典范阈值，并描述了对数典范阈值为这些数的次数为 $d$ 的既约平面曲线。作为应用，我们证明了 $\frac{2}{d}$、$\frac{2d-3}{(d-1)^2}$、$\frac{2d-1}{d(d-1)}$、$\frac{2d-5}{d^2-3d+1}$ 和 $\frac{2d-3}{d(d-2)}$ 是 $\mathbb{P}^3$ 中次数 $d\geqslant 3$ 的光滑曲面的 Tian $\alpha$-不变量的最小值。我们还证明了任何对数典范阈值小于 $\frac{5}{2d}$ 的次数 $d\geqslant 4$ 的既约平面曲线，对于群 $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{C})$ 的作用都是 GIT-不稳定的，并描述了对数典范阈值为 $\frac{5}{2d}$ 的 GIT-半稳定既约平面曲线。