节点数极少的高次积分规则及其在代数曲线上的支持

我们研究支撑于实代数与有理曲线上的积分规则，聚焦于奇数次数情形 $2s-1$。从优化视角出发，在 $2s-1$ 强度的积分规则空间中最小化合适的惩罚函数，以获得节点数最少的规则。对于次数为 $d$ 的平面代数曲线，我们推导具体的节点上界，基于 $d$ 与无穷点的数量，改进了 Riener--Schweighofer 与 Zalar 的结果。对于任意维度上次数为 $d$ 的有理曲线，进一步利用参数化几何细化这些上界，并在 $d=1$ 时恢复经典的高斯积分上界。我们的结果揭示了支撑曲线的代数复杂性与积分公式最小节点数之间的直接联系，提供了一个统一框架，将实代数几何、多项式优化与矩论联系起来。