$\mathbb{P}^3$ 中非常一般曲面上曲线的属

本文考虑确定位于 $\mathbb{P}^3$ 中次数 $d$ 至少为 5 的非常一般曲面 $S$ 上的不可约曲线的几何属的问题（$d \leqslant 4$ 的情况是众所周知的）。我们引入了集合 $Gaps(d)$，包含所有不能作为 $S$ 上不可约曲线的几何属实现的非负整数。我们证明 $Gaps(d)$ 是有限的，特别是 $Gaps(5)= \{0,1,2\}$。集合 $Gaps(d)$ 是有限多个不相交且分离的整数区间的并集。根据 Xu 的一个定理，其中第一个区间是 $Gaps_0(d):=[0, \frac{d(d-3)}{2} - 3]$。我们表明，对于所有 $d \geqslant 6$，下一个区间是 $Gaps_1(d):= [\frac{d^2-3d+4}{2}, d^2-2d-9]$。