标准映射度数为奇数的曲面

设 $S$ 为一个光滑的复数一般类型的最小曲面，其 canonical 映射 $p_g:=h^0(K_S)\ge 4$，且该映射在一般情况下为奇度 $d>1$ 的有限映射，映到一个曲面 $\Sigma$。我们假设 $S$ 的一般 canonical 曲线光滑且 $\Sigma$ 由直线组成。我们证明：- $p_g\le d+2$- $\Sigma$ 是 $\mathbb{P}^{p_g-1}$ 中度数为 $p_g-2$ 的有理正常曲线的锥体 - $p_g=d+2$ 仅在 $d=3,9,11$ 时可能出现。作为副产品，我们通过证明若放弃 $\Sigma$ 由直线组成的假设，则 $d\le 5$ 当 $p_g\ge 112$，从而细化了 Beauville 与 Xiao 之前的研究结果。由于 $d=3$ 的情况已由前述两位作者完全分类，本文聚焦于 $d=5$，证明 $p_g\le 5$，并指出当 $p_g=5$ 时，曲面 $S$ 具有一条 $C^2=1$ 且 $K_SC=5$ 的射影族。这些结果表明，标准映射度数为奇数的曲面，其不变式是否受限可能是肯定的，这与偶数情况形成鲜明对比。