谱 Galerkin 离散化下 SPDE 轨迹的弱误差估计
概率论
2016-07-13 v2 数值分析
摘要
我们考虑由加性空间相关 Wiener 噪声驱动的随机半线性演化方程，特别考虑热方程（解析半群）和阻尼驱动波动方程（有界半群）类型的问题。我们通过谱 Galerkin 投影对这些方程进行离散化，并研究轨迹概率分布的逼近：检验函数是正则的，但依赖于过程在区间 上的取值。我们在 SPDE 离散化的定量弱误差分析背景下引入了一种新方法。弱误差通过一个确定性函数（Itô 映射）来表述，该函数来源于非线性项被忽略时得到的随机卷积。我们利用了 Itô 映射的正则性性质，特别是二阶 Taylor 展开，将误差从随机卷积的谱逼近转移到感兴趣的弱误差。我们证明在两种情况下，弱收敛速率是强收敛速率的两倍。首先，我们假设协方差算子与半群的生成元可交换：由于独立性性质，弱误差展开中的一阶项消去。其次，我们取消可交换假设，并通过分析一个依赖于交换子的新误差项，将上述结果进行了推广。
引用
@article{arxiv.1602.04057,
title = {Weak error estimates for trajectories of SPDEs for Spectral Galerkin discretization},
author = {Charles-Edouard Bréhier and Martin Hairer and Andrew M. Stuart},
journal= {arXiv preprint arXiv:1602.04057},
year = {2016}
}