具有非线性扩散系数的随机偏微分方程谱 Galerkin 逼近的弱收敛率
概率论
2021-11-02 v2 数值分析
摘要
科学文献中已充分理解了具有光滑正则非线性的半线性随机演化方程 (SEEs) 的（时间、空间和噪声）数值逼近的强收敛率。此类 SEE 数值逼近的弱收敛率已被研究了约 11 年，但远未被充分理解：粗略地说，对于具有非线性扩散系数函数的抛物型 SEE，尚无本质上尖锐的弱收敛率；详见 [A. Debussche, Weak approximation of stochastic partial differential equations: the nonlinear case, Math. Comp. 80 (2011), no. 273, 89-117] 中的注记 2.3。在本文中，我们解决了 Debussche 文章中出现的弱收敛问题（针对谱 Galerkin 逼近情形），并为具有非线性扩散系数函数的半线性 SEE 的空间谱 Galerkin 逼近建立了本质上尖锐的弱收敛率。我们对 Debussche 文章中出现的弱收敛问题的解决方案未使用 Malliavin calculus。相反，我们解决方案的关键要素是适当修改版本的空间 Galerkin 逼近过程的使用，以及将 mild Itô 型公式应用于半线性 SEE 的解和数值逼近。本文仅解决了 Debussche 文章中出现的针对空间谱 Galerkin 逼近（而非其他更复杂的数值逼近）的弱收敛问题。然而，我们的证明方法可扩展到半线性 SEE 的多种其他类型的空间、时间和噪声数值逼近。
引用
@article{arxiv.1408.1108,
title = {Weak convergence rates of spectral Galerkin approximations for SPDEs with nonlinear diffusion coefficients},
author = {Daniel Conus and Arnulf Jentzen and Ryan Kurniawan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1408.1108},
year = {2021}
}