$\mathbb{S}^n\times \mathbb{R}$ 中的脐点子流形

我们给出了 $\Sf^n\times \R$ 中任意维数和余维数的脐点子流形的完全分类，将 Rabah-Souam 和 Toubiana 对 $\Sf^2\times \R$ 中脐曲面的分类以及 Van der Veken 和 Vrancken 对 $\Sf^n\times \R$ 中脐超曲面的局部描述进行了推广。我们证明，除了切片中的小球面外，在环境空间的等距变换下，它们构成一个双参数族的旋转子流形，其本质余维数为一或二，其轮廓线分别位于全测地 $\Sf^1\times \R$ 或 $\Sf^2\times \R$ 中的一条曲线上，前者出现在单参数族中。除一个与欧氏空间微分同胚的元素外，所有这些子流形都与球面微分同胚。我们得到了所有这些子流形的显式参数化。我们还研究了 $\Sf^n\times \R$ 和 $\Hy^n\times \R$ 中更一般的子流形类。特别地，我们给出了这些乘积空间中所有子流形的完整描述，这些子流形满足：张成 $\R$ 因子的单位向量场的切分量是所有形状算子的特征向量。我们证明了 $\Sf^n\times \R$ 和 $\Hy^n\times \R$ 中具有平行平均曲率向量且满足此性质的曲面是旋转曲面。我们还证明了 $\Sf^n\times \R$ 和 $\Hy^n\times \R$ 中子流形的 Dajczer 型余维数约化定理。