$\mathbb{H}^k\times \mathbb{S}^{n-k+1}$ 的脐子流形

在本文中，我们完成了空间形式黎曼积脐子流形的分类，解决了共形平坦积 $\mathbb{H}^k\times \mathbb{S}^{n-k+1}$ 的情形，这是此前关于该主题的著作所未涵盖的。我们证明恰好存在一个 $p$-参数族的 $\mathbb{H}^k\times \mathbb{S}^{n-k+1}$ 脐子流形的合同类，其实质余维数为~$p$，我们证明 $p$ 至多为 $\mbox{min}\,\{k+1, n-k+2\}$。我们更仔细地研究了余维数一和二的情形，并分别给出了一参数族和两参数族（连同三个额外的一参数族），它们恰好包含这类子流形每个合同类的一个代表。特别地，这给出了 $\mathbb{S}^n\times \mathbb{R}$ 的所有（合同类）脐子流形分类的另一种证明，并为 $\mathbb{H}^n\times \mathbb{R}$ 的情形提供了类似分类。我们确定了 $\mathbb{H}^k\times \mathbb{S}^{n-k+1}$ 完备脐子流形的所有可能拓扑类型，实际上是微分同胚类型。我们还证明 $\mathbb{H}^k\times \mathbb{S}^{n-k+1}$ 积模型中的脐子流形可在适当意义下视为旋转子流形，并在 $k=n$ 时显式描述了它们的剖面曲线。作为我们研究的推论，我们证明 $\mathbb{H}^k\times \mathbb{S}^{n-k+1}$ 到自身的每个保角微分同胚都是等距。