$\mathbb R^4$中超曲面的部分脐点奇点

本文建立了浸入${\mathbb R}^4$的超曲面在其主曲率奇点集$\mathcal{S}$邻域内的主曲率线的几何结构，该集合由至少两个主曲率相等的点组成。在由适当的横截性假设定义的通用条件下，证明了$\mathcal{S}$是正则光滑曲线$\mathcal{S}_{12}$和$\mathcal{S}_{23}$的并集，这些曲线由部分脐点组成，即仅有两个主曲率重合的点。该曲线被划分为由 Darboux 型$D_1,\; D_2,\; D_3$点组成的正则弧，其公共边界位于$D_{12}$和$D_{23}$型的孤立半 Darboux 过渡点处。本文建立的部分脐点分隔面（由主曲率线趋近$\mathcal S$的点集的边界组成）的分层结构，将 Darboux 关于${\mathbb R}^3$中解析曲面上脐点的结果推广到了${\mathbb R}^4$中的超曲面，该结果经 Gutierrez 和 Sotomayor 重述以描述$D_1,\; D_2,\; D_3$型脐点的分隔面结构，并由 Garcia、Gutierrez 和 Sotomayor 进一步发展了其$D_{12}$和$D_{23}$通用分岔。这项工作补充了 Garcia 关于${\mathbb R}^4$中超曲面通用部分脐点周围主曲率线结构的结果。