R3 中浸入曲面上的几何平均曲率线

本文研究定义在浸入 $\mathbb R^3$ 中的有向曲面的椭圆区(其中高斯曲率 $\mathcal K$ 为正)上的一对具有奇点的横截叶状结构。叶状结构的叶是几何平均曲率线,沿这些线法曲率为 $\sqrt {\mathcal K}$,即浸入的主曲率 $k_1, k_2$ 的几何平均曲率。叶状结构的奇点是脐点以及抛物曲线,分别满足 $k_1 = k_2$ 与 ${\mathcal K} = 0$。本文确定了几何平均曲率线在脐点、抛物曲线以及几何平均曲率环(叶状结构的周期叶)附近的 structurally stable 模式。建立了这些模式的泛性(genericity)。这提供了三个本质的局部要素,用以建立几何平均曲率结构稳定性(很可能是必要的)的充分条件。本文末尾概述的这项研究,是作者先前所研究的浸入曲面的算术平均曲率与渐近结构稳定性的自然类比与补充。