曲率椭圆与曲率抛物线之间的关系

在 $\mathbb R^4$ 中的浸入曲面的每一点处，法平面上存在一个曲率椭圆，它编码了曲面的所有局部二阶几何。近期，在 $\mathbb R^3$ 中余秩 1 奇异曲面的奇异点处，定义了法平面上一个编码所有局部二阶几何的曲率抛物线。当将 $\mathbb R^4$ 中的正则曲面沿切方向投影到 $\mathbb R^3$ 时，通常会生成余秩 1 奇异点。除非投影方向为渐近方向（此时可能出现更退化的奇异点），否则该投影具有交叉帽奇异性。本文将 $\mathbb R^4$ 中浸入曲面在某一点处的几何与其在奇异点处到 $\mathbb R^3$ 的投影几何相关联。特别地，我们将曲面的曲率椭圆与其奇异投影的曲率抛物线相关联。