R3 中浸入曲面的中曲率线
微分几何
2007-05-23 v1 动力系统
摘要
对于浸入于 R^3 中的有向曲面，本文研究定义在椭圆区域上的具有奇点的成对横截叶状结构，该区域中由浸入的主曲率 k_1, k_2 之积给出的高斯曲率 K 为正。叶状结构的叶为 M-中曲率线，沿该线浸入的法曲率为由 M = M(k_1,k_2) ∈ [k_1, k_2] 给出的函数，称为 M-中曲率，其性质扩展并统一了算术平均曲率 H=(k_1+k_2)/2、几何平均曲率 K^{1/2} 与调和平均曲率 K/H=((1/{k_1} + 1/{k_2})/2)^{-1} 这些经典平均曲率的性质。叶状结构的奇点为脐点以及抛物曲线，分别对应于 k_1 = k_2 与 K = 0。本文确定了 M-中曲率线在脐点、抛物曲线以及 M-中曲率环（叶状结构的周期叶）附近的模式，这些模式在浸入的小扰动下是结构稳定的。同时还确立了这些模式的普遍性。这些模式提供了三个本质的局部要素，用以建立浸入曲面的 M-中曲率结构稳定性的充分条件（很可能也是必要条件）。这构成了对作者先前就算术、渐近、几何与调和等经典平均曲率结构稳定性情形所得结果的自然统一与补充。
引用
@article{arxiv.math/0403500,
title = {Lines of Mean Curvature on Surfaces Immersed in R3},
author = {Ronaldo Garcia and Jorge Sotomayor},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0403500},
year = {2007}
}
备注
41 pages, 06 figures. to be published in Qualitative Theory of Dynamical Systems