R4 中浸入曲面的轴脐点及其一般分岔

本文描述了浸入 R4 的曲面的一般单参数族中出现的轴脐点。在这些点处，Little 和 Garcia-Sotomayor 定义的浸入曲率椭圆具有相等的轴。文章回顾了轴曲率线及相关轴脐点的基本预备知识，后者是主平均轴曲率线场的奇点、轴交叉点以及定义它们的四次微分方程。通过四次微分方程的 Lie-Cartan 向量场悬挂，给出了一个切于 Lie-Cartan 曲面的线场（位于源浸入曲面的射影丛中，该丛四重覆盖轴脐点的去心邻域），其积分曲线正则投影到轴曲率线上。在适当的 Monge 图表中，通过研究 Lie-Cartan 向量场的积分曲线，得到了记为 E3、E4 和 E5 的一般轴脐点的构型。应用初等分岔理论研究了一般轴脐点之间的过渡和消除。分析了两种一般模式 E^1_{34} 和 E^1_{45}，并根据其在浸入空间中随单参数变化的定性变化（分岔）解释了它们的轴构型，重点在于其与平面向量场的鞍结分岔的紧密类比。这项工作可视为 Garcia-Gutierrez-Sotomayor 关于 R3 中曲面脐点分岔结果向 R4 的部分推广。在较宽松的可微性假设和不同的方法论下，它与 Gutierrez-Guinez-Castaneda 的结果有相通之处。