曲面族的等距线

对于 $\mathbb{R}^3$ 中的光滑曲面，本文包含对某些仿射等距线的局部研究，即平行切平面的接触点之间按固定比例的点之轨迹（但排除比例为 0 和 1 的情形，此时等距线包含其中一个或另一个接触点）。所研究的情况在 1-参数族中泛性地出现，其中曲面的两个抛物点具有平行切平面，且在这些点处唯一的渐近方向也平行。通过把等距线视为从 $\mathbb{R}^4$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的映射的一个 2-参数开折的临界值，对其奇点进行了分类。特别地，分类了在连接两个特殊抛物点的所谓“超焦弦”附近出现的奇点。沿此弦的给定比例下，可识别出一个或三个特殊点，在这些点处等距线的奇点变得更为特殊。许多所得奇点在文献中曾出现于抽象分类中，因此本文也为这些奇点提供了自然的几何背景，并回溯到导出它们的曲面几何。