U(1)-不变的特殊拉格朗日 3-流形 II. 奇异解的存在性
摘要
这是三篇论文 math.DG/0111324、math.DG/0204343 中的第二篇，研究 C^3 中在 U(1)-作用 (z_1,z_2,z_3) --> (gz_1,g^{-1}z_2,z_3)（g 为单位复数）下不变的特殊拉格朗日 3-子流形（SL 3-流形）N，使用分析方法。这三篇论文的综述见 math.DG/0206016。若 N 是这样的 3-流形，则在 N 上有 |z_1|^2-|z_2|^2=2a，其中 a 为某实数。在局部，N 可写为满足依赖于 a 的非线性 Cauchy-Riemann 方程的函数 u,v : R^2 --> R 的某种图形，使得 u+iv 类似于 x+iy 的全纯函数。第一篇论文 math.DG/0111324 研究了 a 非零的情形。此时 u,v 光滑且 N 非奇异。它证明了由 u,v 方程导出的两个 Dirichlet 问题的解的存在性与唯一性。这意味着在给定边界条件下，C^3 中一大类非奇异 U(1)-不变 SL 3-流形的存在性与唯一性。在本文及其续篇 math.DG/0204343 中，我们聚焦于 a=0 的情形。此时非线性 Cauchy-Riemann 方程并非总是椭圆的。因此可能存在点 (x,0)，使得 u,v 不可微，对应于 N 的奇点。本文主要处理技术性分析议题，续篇则关注 N 奇点的几何。我们证明了非线性 Cauchy-Riemann 方程解的导数之先验估计，并用它们证明当 a=0 时两个 Dirichlet 问题的弱解 u,v 的存在性与唯一性，这些弱解连续且弱可微。这给出了在边界条件下 C^3 中一大类奇异 U(1)-不变 SL 3-流形的存在性与唯一性。
引用
@article{arxiv.math/0111326,
title = {U(1)-invariant special Lagrangian 3-folds II. Existence of singular solutions},
author = {Dominic Joyce},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0111326},
year = {2007}
}
备注
56 pages, LaTeX. (v5) Rewritten, shorter, improved proofs