U(1)-不变的特殊 Lagrangian 3-流形 I. 非奇异解
摘要
这是三篇论文 math.DG/0111326、math.DG/0204343 中的第一篇，使用解析方法研究 C^3 中在 U(1) 作用 (z_1,z_2,z_3) --> (gz_1,g^{-1}z_2,z_3)（其中 g 为单位复数）下不变的特殊 Lagrangian 3-子流形（SL 3-流形）N。这三篇论文在 math.DG/0206016 中作了综述。设 N 为这样的 U(1)-不变 SL 3-流形。则在 N 上有 |z_1|^2-|z_2|^2=2a，其中 a 为某个实数。在局部，N 可写为函数 u,v : R^2 --> R 的某种图，这些函数满足依赖于 a 的非线性 Cauchy-Riemann 方程，使得 u+iv 类似于 x+iy 的全纯函数。当 a 非零时，u,v 总为光滑的且 N 总为非奇异的。但若 a=0，可能存在点 (x,0) 使 u,v 不可微，对应于 N 的奇点。本文聚焦于 a 非零时的非奇异情形。我们证明了我们的非线性 Cauchy-Riemann 方程在复分析中的若干熟知的相应结果。特别地，我们证明了由其导出的两个 Dirichlet 问题的解的存在唯一性。这给出了 C^3 中一大类具有两类边界条件的非奇异 U(1)-不变 SL 3-流形的存在唯一性。在续篇中我们将这些结果推广到奇异情形 a=0。下一篇论文 math.DG/0111326 证明了当 a=0 时两个 Dirichlet 问题的连续弱解的存在唯一性。这给出了 C^3 中一大类具有边界条件的奇异 U(1)-不变 SL 3-流形的存在唯一性。最后一篇论文 math.DG/0204343 研究所得奇点的性质，并构造 C^3 中开集上的 U(1)-不变特殊 Lagrangian 纤维化。
引用
@article{arxiv.math/0111324,
title = {U(1)-invariant special Lagrangian 3-folds I. Nonsingular solutions},
author = {Dominic Joyce},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0111324},
year = {2007}
}
备注
33 pages, LaTeX. (v5) Minor changes, updated references