带边界的三维流形的 SU(n) 与 U(n) 表示

本文获得了将平坦向量丛（或等价地，一般表示）从紧致连通定向三维流形 $M$ 的连通边界的一个连通子曲面 $S$ 的基本群扩展到整个流形 $M$ 的结果。这些结果被应用于三维有理同调配边（rational homology cobordisms）的基本群的表示。证明过程引入并完全计算（直至符号）了新的数值不变量，这些不变量“带重数和符号地计数”$M$ 的基本群到酉群 U(n)（或特殊酉群 SU(n)）的表示数（模共轭），且这些表示限制在 $S$ 上时共轭于 $S$ 的基本群的一个指定不可约表示 $\rho$。这些不变量的灵感来源于 Casson 关于闭流形 SU(2) 表示的工作。此处处理的所有不变量均独立于 $\rho$ 的选择。若 $T$ 等于 $S$ 与 $M$ 的欧拉示性数之差且为非负数，则产生一个 $T \times (\dim \text{U}(n))$（或 $\dim \text{SU}(n)$）维的圈，其承载了关于此类 U(n)（或 SU(n)）表示空间的信息。当 $T = 0$ 时，得到上述整数不变量结果并完全计算（直至符号）。当 $T > 0$ 时，在假设 $\rho$ 将 $S$ 的每个边界分量映射为单位元的条件下，得到一系列 U(n)（或 SU(n)）的不变量，它们表示为多变量的齐次多项式，令人想起 Donaldson 关于四维流形的工作。