SL(2)实形式的统一Casson-Lin不变量

我们引入一个统一框架来计数纽结群到$SU(2)$和$SL(2, \mathbb{R})$的表示。对于3-球中的纽结$K$，Lin等人证明，具有固定经线holonomy的$SU(2)$表示的Casson式计数可恢复$K$的签名函数。对于补集不含闭本质曲面的纽结，我们证明存在对$SL(2, \mathbb{R})$表示的类似计数。接着我们证明$SL(2, \mathbb{R})$计数由$SU(2)$计数和一个整数$h(K)$决定，从而使我们能够仅用基本拓扑假设证明各种$SL(2, \mathbb{R})$表示的存在性。结合Culler-Dunfield的平移扩张轨迹，我们用此证明由广泛类别纽结上的循环分支覆盖和Dehn填充得到的许多3-流形群的左可序性。我们给出对实抛物表示存在的进一步应用，包括将Riley猜想（由Gordon证明）推广至交错纽结。这些不变量表现出一些值得解释的有趣模式，我们包含了许多开放问题。$SU(2)$与$SL(2, \mathbb{R})$之间的紧密联系源于将其表示视为适当$SL(2, \mathbb{C})$特征簇的实点。尽管此类实轨迹在$SU(2)$与$SL(2, \mathbb{R})$共有的可约特征处通常高度奇异，在相关情形下，我们展示如何将这些实代数集分解为光滑流形。我们利用从射影几何视角研究的几何过渡$S^2 \to \mathbb{E}^2 \to \mathbb{H}^2$构造这些分解，它们使我们能够在$SU(2)$与$SL(2, \mathbb{R})$表示的Casson-Lin计数之间无阻碍地转换。