长圈与完全图的 Ramsey 数

在本文中，我们证明了多色 Ramsey 数 $R(G_1,\dots,G_n,K_{n_1},\dots,K_{n_r})$ 对于任意连通图 $G_1,\dots,G_n$ 和 $n_1,\dots,n_r\in\mathbb{N}$ 至少为 $(\gamma-1)(\kappa-1)+1$，其中 $\gamma=R(G_1,\dots,G_n)$ 且 $\kappa=R(K_{n_1},\dots,K_{n_r})$。Erd\H os 等人猜想对每个 $n\geq l\geq 3$（除 $n=l=3$ 外）有 $R(C_n,K_l)=(n-1)(l-1)+1$。Nikiforov 对 $n\geq 4l+2$ 证明了该猜想。利用上述界，我们导出如下该结果的推广：$R(C_n,K_{n_1},\dots,K_{n_r})=(n-1)(\kappa-1)+1$，其中 $\kappa=R(K_{n_1},\dots,K_{n_r})$ 且 $n\geq 4\kappa+2$。