书的拉姆齐数

我们证明，在完全图 $K_N$ 边的每种二染色中，都存在一个单色 $K_k$，它可被以至少 $(1 + o_k(1))2^{-k}N$ 种方式扩展为一个单色 $K_{k+1}$。这一结果在渐近意义下是最佳可能的，这可通过考虑随机染色看出。等价地，定义书 $B_n^{(k)}$ 为由 $n$ 个共享一个公共 $K_k$ 的 $K_{k+1}$ 副本构成的图，我们证明拉姆齐数 $r(B_n^{(k)}) = 2^k n + o_k(n)$。以这种形式，我们的结果回答了 Erdős、Faudree、Rousseau 和 Schelp 的一个问题，并建立了 Thomason 一个猜想的渐近版本。