Fermi-Pasta-Ulam 问题及其底层的可积动力学：基于 Lyapunov 指数的方法

一维 FPU 模型是对线性模型或 Toda 模型的扰动；对线性模型的扰动包括通常的 $\beta$-模型，对 Toda 的扰动包括通常的 $\alpha+\beta$ 模型。在本文中，我们通过数值计算每一个模型的最大 Lyapunov 指数 $\chi$，来探索并比较两族（或两层）FPU 模型，它们分别越来越接近线性模型或 Toda 模型。我们研究了 $\chi$ 在大的 $N$（粒子数）和小的 $\epsilon$（比能量 $E/N$）下的渐近行为，并对所有模型发现渐近幂律 $\chi\simeq C\epsilon^a$，其中 $C$ 和 $a$ 依赖于模型。结果表明，渐近行为一般来说相当缓慢，而产生精确结果需要巨大的计算努力。我们也重访并推广了由 Casetti、Livi 和 Pettini 引入的 $\chi$ 的解析计算，该计算最初针对 $\beta$-模型给出。有充分证据表明，该理论成功推广到线性层的所有模型，但不适用于接近 Toda 的模型。