关于 Ehrhard-M"uller 系统具有不变代数曲面的动力学

本文研究了 Ehrhard-M"uller 微分系统的全局动力学，该系统表达式为：\n\n$$\dot{x} = s(y - x), \quad \dot{y} = rx - xz - y + c, \quad \dot{z} = xy - z,$$\n\n其中 $s$、$r$ 和 $c$ 为实参数，$x$、$y$ 和 $z$ 为实变量。我们对该微分系统二次不变代数曲面进行分类。随后，我们描述了在 Poincaré 球中具有这些不变代数曲面之一的相图。Poincaré 球是 $\mathbb{R}^3$ 中闭合单位球，内部被识别为 $\mathbb{R}^3$，其边界二维球面 $\mathbb{S}^2$ 被识别为 $\mathbb{R}^3$ 的无穷远点。在空间 $\mathbb{R}^3$ 中，可以沿着与 $\mathbb{S}^2$ 点相同数量的方向前往无穷远。Ehrhard-M"uller 系统的多项式微分系统可以解析地延拓到 Poincaré 球上，从而我们可以在其无穷远点的邻域中研究其动力学。通过给出 Poincaré 球中的相图，我们描述了所有具有二次不变代数曲面的 Ehrhard-M"uller 系统轨道的动力学。