球盒子的达文坦特常数

给定作加法的阿贝尔群 $G$ 和一个子集 $X\subseteq G$，我们记 $\mathsf{D}(X)$ 为 $X$ 的达文坦特常数，即存在一个由 $X$ 元素组成的序列 $x_1, \dots, x_n$，使得 $\sum_{i=1}^n x_i =0$ 且对每个非空真子集 $I \subset \{1, \ldots, n\}$，都有 $\sum_{i \in I} x_i \ne 0$。本文主要研究当 $G$ 为 $\mathbb{Z}^2$ 和 $\mathbb{Z}^3$，且 $X$ 为离散欧几里得球的情况。随后得到的一个应用是估计盒子——即整数区间乘积——的达文坦特常数的经典问题。