正交级数几乎必然收敛的完整刻画

本文证明了正交级数几乎必然收敛的完整刻画，该刻画以优势测度的存在性为条件。这意味着，对于给定的 $(a_n)^{\infty}_{n=1}$，$a_n>0$，级数 $\sum^{\infty}_{n=1}a_n\varphi_n$ 对每个标准正交序列 $(\varphi_n)^{\infty}_{n=1}$ 几乎处处收敛当且仅当存在一个测度 $m$ 定义在 $$T=\{0\}\cup\Biggl\{\sum^m_{n=1}a_n^2,m\geq 1\Biggr\}$$ 上，使得 $$\sup_{t\in T}\int^{\sqrt{D(T)}}_0(m(B(t,r^2)))^{-{1}/{2}}\,dr<\infty,$$ 其中 $D(T)=\sup_{s,t\in T}|s-t|$ 且 $B(t,r)=\{s\in T:|s-t|\leq r\}$。所提出的方法基于弱优势测度和某种划分方案。