三维球面子域上的Biot-Savart算子与电动力学
微分几何
2012-10-29 v2 数学物理
几何拓扑
math.MP
摘要
我们研究三维球面子域上正曲率几何背景下的稳态磁场。通过将Biot-Savart定律推广为作用于所有向量场的积分算子BS，我们证明在此类背景下电动力学与欧几里得电动力学行为相当类似。例如，对于电流J和磁场BS(J)，我们证明麦克斯韦方程组自然成立。在所有情形中，我们给出的公式具有几何意义：它们被三维球面的保定向等距所保持。本文描述了BS的若干性质：我们证明它是自伴的、有界的，并可延拓为希尔伯特空间上的紧算子。对于起电流作用的向量场，我们证明旋度算子是BS的左逆；因此Biot-Savart算子在旋度特征值研究中具有重要意义，并应用于几何与物理中的能量最小化问题。最后我们给出两个例子，表明我们的界通常在一个数量级内接近最优。
引用
@article{arxiv.0904.3524,
title = {The Biot-Savart operator and electrodynamics on subdomains of the three-sphere},
author = {Jason Parsley},
journal= {arXiv preprint arXiv:0904.3524},
year = {2012}
}
备注
24 pages (was 28 pages) Revised to include a new introduction, a detailed example, and results about helicity; other changes for readability