关于 curl 算子的一些性质及其对 Navier-Stokes 系统的影响

我们基于 $\operatorname{curl}$ 算子的对角化及其在具有有限能量的无散度向量场中作为伪导数 $(-\Delta)^{1/2}$ 的非局部对称的表达，研究该算子的若干几何性质。在此背景下，我们引入自旋确定场（spin-definite fields）的概念，即 $(-\Delta)^{-1/2}\operatorname{curl}$ 的特征向量。一般三维不可压缩流的两个自旋确定分量将右手运动与左手运动解耦。观察到 Navier-Stokes 的非线性具有叉积结构，且其弱（分布）形式为涉及涡量、速度与测试函数的行列式，我们以几何方式重新审视能量守恒与螺旋度平衡。我们证明，在有限时间爆破情形下，流的两个自旋确定分量将同时以相同速率发散，即三维奇点是自旋冲突的结果，而这不可能发生于几何结构更简单的二维流中。我们研究局部与非局部行列式 $$\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\det(\operatorname{curl} u, u, (-\Delta)^{\theta} u)$$ 及其自旋确定对应项的作用，它们驱动涡量并更一般地负责流的规则性以及奇点或准奇点的出现。因此，它们处于湍流现象的核心。