旋度算子的一个无散度不变右逆及其在广义 Vekua 型问题中的一些应用

在本工作中，我们研究在 $\mathbb{R}^3$ 中有界星型域中由方程 $\text{div } \vec w=g_0$ 与 $\text{curl } \vec w=\vec g$ 组成的系统。基于文献中先前导出的上述 div-curl 系统的一般解，建立了 Helmholtz 型分解定理。当 $g_0\equiv 0$ 时，我们轻易得到一个有界的 $\text{curl}$ 的右逆，它是无散度不变的。该算子到具有消失法向迹的无散度向量场子空间上的限制即为著名的 Biot--Savart 算子。进而，该 $\text{curl}$ 的右逆将被修正以保证其紧性并满足合适的边值问题。文中包含了在 Beltrami 场、Vekua 型问题以及非均匀介质中 Maxwell 方程的应用。