薄双Lipschitz区域中渐近尖锐的几何刚性插值估计

本工作是发展薄区域渐近尖锐几何刚性估计研究计划的一部分。三维欧几里得空间中的薄区域大致是足够正则的二维紧致曲面的一个小邻域。我们证明了具有较低正则性的薄区域的渐近尖锐几何刚性插值不等式。与著名的Friesecke-James-Müller刚性估计[\textit{Comm. Pure Appl. Math.,} 55(11):1461-1506, 2002]针对板不同，我们的估计对任意真旋转 $\BR\in SO(3)$ 均成立。即，该估计以任意 $\By\in W^{1,p}(\Omega,\mathbb R^3)$ 场的梯度与任意常值真旋转 $\BR\in SO(3)$ 的 $L^p$ 距离，通过梯度 $\nabla\By$ 与旋转群 $SO(3)$ 的平均 $L^p$ 距离（非线性应变）以及场本身与对应于旋转 $\BR$ 的刚体运动集合的平均 $L^p$ 距离来界定。该估计有几个显著事实：1. 估计中的常数就域厚度缩放在任何具有所需正则性的薄区域上均为尖锐。2. 在域具有正或负高斯曲率的特殊情形下，该不等式将依据原型非线性应变 $\int_\Omega\mathrm{dist}^p(\nabla\By(x),SO(3))dx$ 估计梯度 $\nabla\By$ 的问题，化简为仅依据非线性应变估计向量场 $\By$ 这一更易的问题，且在常数缩放上无任何损失，正如Ans"atze所提示。后者将是一个几何刚性Korn-Poincaré型估计。这一转化是薄域刚性问题的重大进展。3. 对于边界能量缩放（弯曲对拉伸），该估计蕴含了自由向量场的改进强紧性。