薄域中的 Korn 插值与第二不等式

我们考虑三维欧几里得空间中围绕具有有界主曲率的曲面、厚度非恒定的壳。对于 $\Bu\in H^1$ 向量场，我们在该类域上推导了 Korn 插值不等式（或称所谓的一又二分之一不等式（该不等式首次引入于 [Gra.Har.1]））与第二不等式，且对 $\Bu$ 不施加边界或归一化条件。估计中的常数关于域厚度 $h$ 是渐近最优的，其首项常数在 $h\to 0$ 时具有标度 $h$。这是首篇在几乎完全一般性下，针对壳的经典 Korn 第二不等式，根据域厚度确定最优常数渐近行为的工作，该不等式对几乎所有薄域 $\Omega\in\mathbb R^3$ 和所有向量场 $\Bu\in H^1(\Omega)$ 均成立。此外，Korn 插值不等式强于 Korn 第二不等式，并且它将根据对称化梯度 $e(\Bu)$ 估计梯度 $\nabla\Bu$ 的问题（特别是薄域的任何线性几何刚性估计）归结为在 $\Bu$ 场本身上证明相应类 Poincaré 估计这一更易的问题。