曲线的切点自回避能量

我们研究一种两点自回避能量 $E_q$，该能量对于 $R^n$ 中的所有可求长曲线定义为沿曲线的 $1/r^q$ 的二重积分。这里 $r$ 表示（最小）圆的半径，该圆在曲线的一点与曲线相切，并经过曲线上的另一点，在非一般性的例外情况下对此定义进行了明显的自然修正。结果表明，对于 $q\ge 2$，$E_q(\gamma)$ 的有限性保证了 $\gamma$ 没有自交点或三重点，因此必须与单位圆或闭区间同胚。对于 $q>2$，在 $R^3$ 中的曲线上评估的能量 $E_q$ 被证明是一种结能量，它通过无限能量势垒将不同的结类型分开，并限制了给定能量值以下的结类型数量。我们还建立了 $R^3$ 中具有有限 $E_q$ 能量的两条曲线的 Hausdorff 距离的显式上界，该上界保证了这两条曲线是环境同痕的。该界仅依赖于 $q$ 和曲线的能量值。此外，对于所有大于临界指数 $2$ 的 $q$，$\gamma$ 的弧长参数化属于 $C^{1,1-2/q}$ 类，单位切向量的 Hölder 范数仅依赖于 $q$、$\gamma$ 的长度和局部能量。指数 $1-2/q$ 是最优的。