$\R^3$中不可扩展闭曲线上实现最大能量的点的分布

设$G_n$为3维空间$\R^3$中长度为$n$的不可扩展柔性闭曲线,其上均匀固定(依据$G_n$的弧长)$n$个粒子$A_1$,...,$A_n$。设$f:(0, \infty)\to \R$为递增连续函数。定义能量函数$$E^f_n(G_n)= \sum_{p< q} f(|A_pA_q|),$$其中$|A_pA_q|$为$\R^3$中$A_p$与$A_q$间的距离。我们提出一个自然且有趣的问题:{\it 当$E^f_n(G_n)$达到最大值时,$G_n$的形状是什么? }在许多自然情形(例如$f(t) = t^\alpha$且$0 < \alpha \le 2$)下,最大化者为正$n$边形;而在所有情形下,最大化者均为(可能退化的)各边长为1的凸$n$边形。