整循环图类的最大能量

图的能量是其邻接矩阵特征值的模之和。我们研究整循环图（也称为gcd图）的能量，这类图可由其顶点数$n$和$n$的一个因子集$\cal D$刻画，其顶点集为$\mathbb{Z}_n$，边集为$\{\{a,b\}: a,b\in\mathbb{Z}_n, \gcd(a-b,n)\in {\cal D}\}$。对于固定的素幂$n=p^s$和固定的因子集大小$|{\cal D}| =r$，我们分析所有匹配整循环图中的最大能量。设$p^{a_1} < p^{a_2} < ... < p^{a_r}$为${\cal D}$中的元素。结果表明，能量最大因子集的指数差$d_i=a_{i+1}-a_{i}$必须满足某些平衡条件：(i) 要么所有$d_i$都等于$q:=\frac{s-1}{r-1}$，要么至多出现两个差值$[q]$和$[q+1]$；(ii) 存在控制连续差值序列$d_1,...,d_{r-1}$的规则。对于特定的$s$和$r$选择，这些条件已能保证能量最大，且其值可显式计算。