关于迭代全图的直径与关联能

图 $G$ 的全图 $\mathcal T(G)$ 是指其顶点集为 $G$ 的顶点集与边集之并的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们在 $G$ 中对应于关联或相邻的元素。令 $\mathcal{T}^1(G)=\mathcal{T}(G)$ 为 $G$ 的全图。对 $k\geq2$，$G$ 的第 $k$ 次迭代全图 $\mathcal{T}^k(G)$ 递归定义为 $\mathcal{T}^k(G)=\mathcal{T}(\mathcal{T}^{k-1}(G))$。若 $G$ 为连通图，其直径为 $G$ 中任意一对顶点间距离的最大值。$G$ 的关联能 $IE(G)$ 是 $G$ 的关联矩阵奇异值之和。本文对给定整数 $k$，建立了使得 $diam(\mathcal{T}^{r+1}(G))>k-r$（$r\geq0$）成立的充要条件。此外，在 $G$ 为正则图的条件下，获得了迭代图 $\mathcal{T}^{r+1}(G)$ 关联能的界。最后，给出了新的非同构共谱图族。