单圈图最大能量猜想的完整证明

对于给定的简单图 $G$，$G$ 的能量 $E(G)$ 定义为其邻接矩阵所有特征值绝对值之和。设 $P_n^{\ell}$ 是通过将 $C_\ell$ 的一个顶点与 $P_{n-\ell}$ 的一个叶子连接得到的单圈图。在 [G. Caporossi, D. Cvetković, I. Gutman, P. Hansen, Variable neighborhood search for extremal graphs. 2. Finding graphs with extremal energy, {\it J. Chem. Inf. Comput. Sci.} {\bf 39}(1999) 984--996] 中，Caporossi 等人猜想：当 $n\leq 7$ 且 $n=9,10,11,13,15$ 时，最大能量的单圈图是 $C_n$；对于其他所有 $n$ 值，最大能量的单圈图是 $P_n^6$。本文利用 Coulson 积分公式和实分析的一些知识，特别是通过使用某种组合技巧，完全解决了这个猜想。然而，结果表明对于 $n=4$ 该猜想不成立，$P_4^3$ 应为最大能量的单圈图。