切向单位向量场：非阿贝尔同伦不变量与狄利克雷能量

设O为S^2中的一个闭合测地多边形。若O的边被映射到包含它们的测地线中，则称从O到S^2的映射满足切向边界条件。以O为S^2的一个卦限，我们计算了满足任意同伦类型H的切向边界条件的连续映射的下确界狄利克雷能量Ecal(H)。Ecal(H)的表达式涉及一个拓扑不变量——拼写长度——它与n次穿孔二球面的（非阿贝尔）基本群π_1(S^2 - {s_1,..., s_n},*)相关。Ecal(H)的下界通过组合群论论证获得，而上界则通过构造显式代表元获得，这些代表元在O的除任意小子集外的所有区域上，交替地局部共形或反共形。对于共形和反共形类（分别包含完全共形和反共形代表元的类），Ecal(H)的表达式简化为一个先前的结果，该结果涉及目标空间S^2中一组正则值s_1,..., s_n的度数。这些度数可视为与π_1(S^2 - {s_1,..., s_n},*)的阿贝尔化相关的不变量。然而，对于非共形类，Ecal(H)可能严格大于阿贝尔界。这是因为对于非共形映射，某些正则值的原像数量可能必然严格大于其度数的绝对值。这项工作受限于多面体几何中向列型液晶的理论建模。结果给出了矩形棱柱中反射对称切向单位向量场的狄利克雷能量（单常数Oseen-Frank能量）的新的下界和上界。