一类不相容双井问题的能量标度行为

本文研究在井和/或边界数据不相容的设定下，具有给定 Dirichlet 边界数据的奇异扰动双井能量的标度律。我们的主要关注点是几何线性双井问题，针对该问题，我们在二维情况下刻画了几乎所有线性边界数据与无应力应变组合下的能量标度。特别地，我们证明了如果边界数据强制产生振荡且表面能的权重 $\epsilon$ 很小，则在减去零阶贡献后，最小能量标度为 $\epsilon^{{4}/{5}}$ 或 $\epsilon^{{2}/{3}}$，具体取决于两井之间的差是秩一矩阵还是秩二矩阵。对于梯度与无散双井问题，我们得到了类似的结果，表明在二维情况下，只要振荡在能量上是有利的，就会出现 $\epsilon^{{2}/{3}}$ 的标度行为。这些结果是通过推导匹配的上下界标度得到的。下界标度是在不相容双井问题的一般 $\mathcal{A}$-free 框架下建立的，这使我们能够计算多余能量并刻画强制产生振荡的边界数据。上界标度是通过适应于不相容设定的分支构造得到的。