具切向边界条件的多面体上 S^2 值调和映射的能量

凸多面体 $P \subset R^3$ 上的单位向量场 $n:P \to S^2$ 若在 $P$ 的每个面上取值均切于该面，则满足切向边界条件。切向单位向量场在 $P$ 的顶点处必然不连续。我们考虑在其他地方连续的场。对于任意同伦型 $h$ 的此类切向单位向量场，我们导出了其下确界 Dirichlet 能量 $E^{inf}_P(h)$ 的下界 $E^-_P(h)$。$E^-_P(h)$ 表示为最小连接的加权和，其中每个连接对应于由 $P$ 诱导的 $S^2$ 自然分割的一个扇区。当 $P$ 为长方体时，我们导出了 $E^{inf}_P(h)$ 的上界，其与下界之比可独立于 $h$ 有界。该问题的动机来自多面体几何中向列相液晶的模型。我们的结果改进并推广了此前的若干结果。