薄膜微磁学中朗道态的紧致性结果

我们研究了一个来自薄膜微磁学的非凸非局部变分问题。该问题由一个自由能泛函构成，该泛函依赖于两个小参数 $\eps$ 和 $\eta$，并定义在 $S^2$ 向量场 $m$ 上，这些向量场在二维区域 $\Omega$ 的边界处是切向的。我们关注当 $\eps, \eta \to 0$ 时极小化子的行为。极小化子倾向于在长度尺度为 $\eps$ 的区域（通常是一个内部涡旋球或两个边界涡旋球）之外处于平面内且散度为零，因此边界条件强制形成了长度尺度为 $\eta$ 的 $S^1$ 过渡层（Néel 壁）。我们首先证明了极小能量的上界，该上界对应于涡旋的成本以及与粘性解相关的 Néel 壁配置，即所谓的朗道态。我们的主要结果涉及在涡旋能量上比 Néel 壁更昂贵的状态下，能量接近朗道态的向量场 $m_{\eps, \eta}$ 的紧致性。我们的方法使用了为 Ginzburg-Landau 类型问题开发的技术来处理涡旋球上的能量集中，并结合了在涡旋球之外用 $S^1$ 向量场逼近 $S^2$ 向量场的论证。