普通幂零本真丛的 p 进 Teichmüller 均匀化的辛几何

本文旨在为 S. Mochizuki 建立的 $p$ 进 Teichmüller 理论提供新视角。我们研究 $p$ 进形式栈 $\widehat{\mathcal{M}}_{g, \mathbb{Z}_p}$（= 分类固定亏格 $g>1$ 的 $p$ 进形式曲线的模栈）与 $\widehat{\mathcal{S}}_{g, \mathbb{Z}_p}$（= 分类带本真丛的亏格 $g$ 的 $p$ 进形式曲线的模栈）的辛几何。(经典) $p$ 进 Teichmüller 理论的一项主要成果是在 $\widehat{\mathcal{S}}_{g, \mathbb{Z}_p}$ 中构造了分类普通幂零本真丛的 $p$ 进典范提升的轨道 $\widehat{\mathcal{N}}_{g, \mathbb{Z}_p}^{\mathrm{ord}}$。形式栈 $\widehat{\mathcal{N}}_{g, \mathbb{Z}_p}^{\mathrm{ord}}$ 体现了双曲黎曼曲面的 $p$ 进类比均匀化，以及普通阿贝尔簇的 Serre-Tate 理论的双曲类比。本文中，将 $\widehat{\mathcal{M}}_{g, \mathbb{Z}_p}$ 的余切丛 $T^\vee_{\mathbb{Z}_p} \widehat{\mathcal{M}}_{g, \mathbb{Z}_p}$ 上的典范辛结构，经投影 $\widehat{\mathcal{N}}_{g, \mathbb{Z}_p}^{\mathrm{ord}} \rightarrow \widehat{\mathcal{M}}_{g, \mathbb{Z}_p}$ 基变换后，与 $\widehat{\mathcal{S}}_{g, \mathbb{Z}_p}$ 上 Goldman 定义的辛结构进行比较。我们可以将此比较视为 S. Kawai 等数学家证明的黎曼曲面上射影结构理论的某些结果的 $p$ 进类比。