与正规曲面奇点相伴的线丛

最近 L. Nicolaescu 与作者提出了一个猜想，它将复解析正规曲面奇点（其链环 $M$ 为有理同调球面）的几何亏格与 $M$ 的伴随“典范” $spin^c$ 结构的 Seiberg-Witten 不变量联系起来。由于链环 $M$ 的 Seiberg-Witten 理论对任一 $spin^c$ 结构都给出一个有理数，寻找一组完整的猜想上成立的恒等式（涉及所有 Seiberg-Witten 不变量并给出它们的解析即奇点理论解释）便成为一个自然的挑战。给出这组恒等式的表述是本文的目标之一。事实上，我们表述了猜想上成立的不等式，在特殊刚性情形下化为等式。借此，Seiberg-Witten 不变量确定了分解上第一层上同调维数的最优拓扑上界。此外，对 $\Q$-Gorenstein 奇点及某些“自然”线丛等式成立。文章第一部分构造了这些“自然”全纯线丛。该线丛构造与阿贝尔覆盖相容。这使我们可以将猜想重新表述为第二版本，将（伴随奇异芽的泛阿贝尔覆盖的）等变几何亏格与链环 $M$ 的 Seiberg-Witten 不变量相联系。最后一节我们验证了该猜想对有理解奇点成立。